РЕШЕНИЕ:

Инвариант: aₙ² + bₙ² = 2ⁿ ∙ (200²+1²)=2ⁿ∙40001.

а)
800² + b² = 2ⁿ∙40001 ⇒ 640000 + b² = 2ⁿ∙40001.
2ⁿ ≥ 640000/40001≈16 ⇒ n≥4.
При n=4: 16∙40001=640016, b²=640016-640000=16 ⇒ b=4.
Пара (800;4) достижима.
Ответ: да.

б)
1606²+1594²=2579236+2540836=5120072.
2ⁿ∙40001=5120072 ⇒ 2ⁿ=5120072/40001≈128.
40001∙128=5120128 ≠ 5120072.
Ответ: нет.

в)
5120072 делится на 8 (5120072/8=640009), но не на 16. Максимальное n=3.
При n=3: a²+b²=5120072/8=640009.
Обратные ходы:
(1606;1594) → ((1606+1594)/2=1600, (1606-1594)/2=6) → (1600;6)
(1600;6) → ((1600+6)/2=803, (1600-6)/2=797) → (803;797)
(803;797) → ((803+797)/2=800, (803-797)/2=3) → (800;3)
Исходная пара (800;3), a=800.
Ответ: 800.

Ответ: да; нет; 800

РЕШЕНИЕ:

Инвариант: aₙ² + bₙ² = 2ⁿ ∙ (60²+1²)=2ⁿ∙3601.

а)
240² + b² = 2ⁿ∙3601 ⇒ 57600 + b² = 2ⁿ∙3601.
2ⁿ ≥ 57600/3601≈16 ⇒ n≥4.
При n=4: 16∙3601=57616, b²=57616-57600=16 ⇒ b=4.
Пара (240;4) достижима.
Ответ: да.

б)
482²+478²=232324+228484=460808.
2ⁿ∙3601=460808 ⇒ 2ⁿ=460808/3601≈128.
3601∙128=460928 ≠ 460808.
Ответ: нет.

в)
460808 делится на 8 (460808/8=57601), но не на 16. Максимальное n=3.
При n=3: a²+b²=460808/8=57601.
Обратные ходы:
(482;478) → ((482+478)/2=480, (482-478)/2=2) → (480;2)
(480;2) → ((480+2)/2=241, (480-2)/2=239) → (241;239)
(241;239) → ((241+239)/2=240, (241-239)/2=1) → (240;1)
Исходная пара (240;1), a=240.
Ответ: 240.

Ответ: да; нет; 140

РЕШЕНИЕ:

Инвариант: aₙ² + bₙ² = 2ⁿ ∙ (150²+1²)=2ⁿ∙22501.

а)
600² + b² = 2ⁿ∙22501 ⇒ 360000 + b² = 2ⁿ∙22501.
2ⁿ ≥ 360000/22501≈16 ⇒ n≥4.
При n=4: 16∙22501=360016, b²=360016-360000=16 ⇒ b=4.
Пара (600;4) достижима.
Ответ: да.

б)
1202²+1198²=1444804+1435204=2880008.
2ⁿ∙22501=2880008 ⇒ 2ⁿ=2880008/22501≈128.
22501∙128=2880128 ≠ 2880008.
Ответ: нет.

в)
2880008 делится на 8 (2880008/8=360001), но не на 16. Максимальное n=3.
При n=3: a²+b²=2880008/8=360001.
Обратные ходы:
(1202;1198) → ((1202+1198)/2=1200, (1202-1198)/2=2) → (1200;2)
(1200;2) → ((1200+2)/2=601, (1200-2)/2=599) → (601;599)
(601;599) → ((601+599)/2=600, (601-599)/2=1) → (600;1)
Исходная пара (600;1), a=600.
Ответ: 600.

Ответ: да; нет; 600

РЕШЕНИЕ:

Исходные данные:
Начальная пара: (5, 7). За один ход можно:
(a, b) → (a+2, b-1), если a+2 > 0 и b-1 > 0.
(a, b) → (a-1, b+2), если a-1 > 0 и b+2 > 0.

а) Можно ли за 50 ходов получить пару, в которой одно из чисел равно 100?
Анализ:
Заметим, что каждый ход изменяет сумму чисел:
В первом ходе: (a+2) + (b-1) = a + b + 1.
Во втором ходе: (a-1) + (b+2) = a + b + 1.
Таким образом, каждый ход увеличивает общую сумму на 1.

Начальная сумма: 5 + 7 = 12.
После n ходов сумма станет: 12 + n.

Если за 50 ходов мы хотим, чтобы одно из чисел стало 100, то сумма после 50 ходов будет 12 + 50 = 62.
Но если одно число равно 100, то другое должно быть отрицательным (так как 100 + (отрицательное) = 62), что невозможно (по условию числа положительные).
Следовательно, за 50 ходов нельзя получить пару, где одно число равно 100.

Ответ для а): Нет, нельзя.

б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна 400?
Как уже отмечено, после n ходов сумма равна 12 + n.
Мы хотим, чтобы 12 + n = 400 ⇒ n = 388.

Таким образом, за 388 ходов сумма станет 400.

Ответ для б): За 388 ходов.

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили 100?
Каждый ход увеличивает сумму чисел на 1.
Начальная сумма: 5 + 7 = 12
После nn ходов сумма станет 12 + n
Чтобы оба числа не превышали 100, максимальная сумма равна 100 + 100 = 200.
12+n ≤200
Значит, теоретически можно сделать не более 200 - 12 = 188 ходов.

Но при этом каждое число должно оставаться≤100.
Рассмотрим, как меняются числа:
Если делаем ход (a+2, b-1), то a увеличивается, b уменьшается.
Если делаем ход (a-1, b+2), то a уменьшается, b увеличивается.

Чтобы максимизировать число ходов, нужно "балансировать" числа:
Если a становится близко к 100, делаем ход второго типа (уменьшаем a, увеличиваем b).
Если b становится близко к 100, делаем ход первого типа (увеличиваем a, уменьшаем b).

В конце мы хотим, чтобы оба числа были как можно ближе к 100, но не превышали его.
Попробуем достичь состояния (100, 100):

Пусть сделано x ходов первого типа и y ходов второго типа.

Тогда:
a = 5 + 2x - y = 100, b = 7 - x + 2y = 100.

Решаем систему:
2x - y = 95
−x+2y=93.
Сложим уравнения: (2x - y) + (-x + 2y) = 95 + 93→ x + y = 188
Но при этом 3y = 281 (если решать подробно), что не целое. Значит, (100, 100)недостижимо.

Ближайшие достижимые варианты:
Попробуем (100, 99):

2x - y = 95, −x+2y=92.
Решаем: из первого y = 2x - 95. Подставляем во второе:

-x + 2(2x - 95) = 92 →−x+4x−190=92→3x=282→x=94.

Тогда y = 2⋅94−95=93. Общее число ходов: n = 94 + 93 = 187.
Проверяем:

a = 5 + 2 ∙ 94 - 93 = 100, b = 7 - 94 + 2 ∙ 93 = 99.
a=5+2⋅94−93=100,b=7−94+2⋅93=99.
Оба числа ≤100.

Попробуем (99, 100):

2x - y = 94, -x + 2y = 93.
Решаем: из первого y = 2x - 94. Подставляем во второе:

Попробуем (101, 99): но 101 > 100 — не подходит.

(100, 100) недостижимо.

Значит, максимум — 187 ходов до состояния (100, 99).
При этом в процессе мы всегда можем выбирать ходы так, чтобы числа не превышали 100

Почему нельзя сделать 188 ходов?
Если сделать 188 ходов, сумма станет 12 + 188 = 200.
Чтобы оба числа были ≤100, нужно a = 100 и b = 100, но это невозможно.
Любой другой вариант (например, 101 + 99) нарушит условие.

Ответ для в): Наибольшее число ходов: 187.


Ответ:нет; 388; 187