РЕШЕНИЕ:

Определим область определения:
Логарифмы должны быть определены:
log₂(9 — x) ⇒ 9 — x > 0 ⇒ x < 9
log₂(x + 5) ⇒ x + 5 > 0 ⇒ x > — 5
log₂²x² и log₂x⁴ ⇒ x²>0 , значит x ≠ 0
Знаменатель не должен быть нулем:
log₂²x² + log₂x⁴ + 1 ≠ 0
По свойству логарифма log₂x² = 2 log₂|x| (поскольку x ≠ 0)
4 log₂²|x| + 4 log₂|x| + 1 = 0
(2 log₂|x| + 1)²
знаменатель не равен 0 ⇒
2 log₂|x| + 1 ≠ 0
log₂|x| ≠ — 1/2
|x| ≠ 2^{— 1/2} = 1/√2
х = ± 1/√2 не входят в область определения

ОДЗ х ∈ ( — 5, 0) U (0, 9) и х ≠ ± 1/√2

log₂(9 — x) — log₂(x + 5) ≥ 0
log₂²x² + log₂x⁴ + 1

Числитель log₂(9 — x) — log₂(x + 5) = log₂(9 — x)/(x + 5)

log₂(9 — x)/(x + 5) ≥ 0
(2 log₂|x| + 1)²

Знаменатель всегда больше 0 ⇒
log₂(9 — x)/(x + 5) ≥ 0

9 — x ≥ 1
x + 5

9 — x — 1 ≥ 0
x + 5

9 — x — 1(x + 5) ≥ 0
x + 5

4 — 2x ≥ 0
x + 5

Решим методом интервалов
4 — 2x = 0
x + 5 = 0

2x = 4
х = — 5

x = 2
х = — 5

х ∈ ( — 5, 2]

учитывая область определения: x∈(−5,−1/√2) ∪ (−1/√2,0) ∪ (0,1/√2) ∪ (1/√2,2]

Ответ: (−5,−1/√2) ∪ (−1/√2,0) ∪ (0,1/√2) ∪ (1/√2,2]

РЕШЕНИЕ:

Определим область определения:
Логарифмы должны быть определены:
log₃(10 — x) ⇒ 10 — x > 0 ⇒ x < 10
log₃(x + 6) ⇒ x + 6 > 0 ⇒ x > — 6
log₃²x² и log₃x⁴ ⇒ x²>0 , значит x ≠ 0
Знаменатель не должен быть нулем:
log₃²x² + log₃x⁴ + 1 ≠ 0
По свойству логарифма log₃x² = 2 log₃|x| (поскольку x ≠ 0)
4 log₃²|x| + 4 log₃|x| + 1 = 0
(2 log₃|x| + 1)²
знаменатель не равен 0 ⇒
2 log₃|x| + 1 ≠ 0
log₃|x| ≠ — 1/2
|x| ≠ 3^{— 1/2} = 1/√3
х = ± 1/√3 не входят в область определения

ОДЗ х ∈ ( — 6, 0) U (0, 10) и х ≠ ± 1/√3

log₃(10 — x) — log₃(x + 6) ≥ 0
log₃²x² + log₃x⁴ + 1

Числитель log₃(10 — x) — log₃(x + 6) = log₃(10 — x)/(x + 6)

log₃(10 — x)/(x + 6) ≥ 0
(2 log₃|x| + 1)²

Знаменатель всегда больше 0 ⇒
log₃(10 — x)/(x + 6) ≥ 0

10 — x ≥ 1
x + 6

10 — x — 1 ≥ 0
x + 6

10 — x — 1(x + 6) ≥ 0
x + 6

4 — 2x ≥ 0
x + 6

Решим методом интервалов
4 — 2x = 0
x + 6 = 0

2x = 4
х = — 6

x = 2
х = — 6

х ∈ ( — 6, 2]

учитывая область определения: x∈(−6,−1/√3) ∪ (−1/√3,0) ∪ (0,1/√3) ∪ (1/√3,2]

Ответ: (−6,−1/√3) ∪ (−1/√3,0) ∪ (0,1/√3) ∪ (1/√3,2]

РЕШЕНИЕ:

Определим область определения:
Логарифмы должны быть определены:
log₄(8 — x) ⇒ 8 — x > 0 ⇒ x < 8
log₄(x + 7) ⇒ x + 7 > 0 ⇒ x > — 7
log₄²x² и log₄x⁴ ⇒ x²>0 , значит x ≠ 0
Знаменатель не должен быть нулем:
log₄²x² + log₄x⁴ + 1 ≠ 0
По свойству логарифма log₄x² = 2 log₄|x| (поскольку x ≠ 0)
4 log₄²|x| + 4 log₄|x| + 1 = 0
(2 log₄|x| + 1)²
знаменатель не равен 0 ⇒
2 log₄|x| + 1 ≠ 0
log₄|x| ≠ — 1/2
|x| ≠ 4^{— 1/2} = 1/2
х = ± 1/2 не входят в область определения

ОДЗ х ∈ ( — 7, 0) U (0, 8) и х ≠ ± 1/2

log₄(8 — x) — log₄(x + 7) ≥ 0
log₄²x² + log₄x⁴ + 1

Числитель log₄(8 — x) — log₄(x + 7) = log₄(8 — x)/(x + 7)

log₄(8 — x)/(x + 7) ≥ 0
(2 log₄|x| + 1)²

Знаменатель всегда больше 0 ⇒
log₄(8 — x)/(x + 7) ≥ 0

8 — x ≥ 1
x + 7

8 — x — 1 ≥ 0
x + 7

8 — x — 1(x + 7) ≥ 0
x + 7

1 — 2x ≥ 0
x + 7

Решим методом интервалов
1 — 2x = 0
x + 7 = 0

2x = 1
х = — 7

x = 0.5
х = — 7

х ∈ ( — 7, 0.5]

учитывая область определения: x∈(−7,−0.5) ∪ (−0.5,0) ∪ (0,0.5)

Ответ: (−7,−0.5) ∪ (−0.5,0) ∪ (0,0.5)

РЕШЕНИЕ:

Определим область определения:
Логарифмы должны быть определены:
log₅(12 — x) ⇒ 12 — x > 0 ⇒ x < 12
log₅(x + 8) ⇒ x + 8 > 0 ⇒ x > — 8
log₅²x² и log₅x⁴ ⇒ x²>0 , значит x ≠ 0
Знаменатель не должен быть нулем:
log₅²x² + log₅x⁴ + 1 ≠ 0
По свойству логарифма log₅x² = 2 log₅|x| (поскольку x ≠ 0)
4 log₅²|x| + 4 log₅|x| + 1 = 0
(2 log₅|x| + 1)²
знаменатель не равен 0 ⇒
2 log₅|x| + 1 ≠ 0
log₅|x| ≠ — 1/2
|x| ≠ 5^{— 1/2} = 1/√5
х = ± 1/√5 не входят в область определения

ОДЗ х ∈ ( — 8, 0) U (0, 12) и х ≠ ± 1/√5

log₅(12 — x) — log₅(x + 8) ≥ 0
log₅²x² + log₅x⁴ + 1

Числитель log₅(12 — x) — log₅(x + 8) = log₅(12 — x)/(x + 8)

log₅(12 — x)/(x + 8) ≥ 0
(2 log₅|x| + 1)²

Знаменатель всегда больше 0 ⇒
log₅(12 — x)/(x + 8) ≥ 0

12 — x ≥ 1
x + 8

12 — x — 1 ≥ 0
x + 8

12 — x — 1(x + 8) ≥ 0
x + 8

4 — 2x ≥ 0
x + 8

Решим методом интервалов
4 — 2x = 0
x + 8 = 0

2x = 4
х = — 8

x = 2
х = — 8

х ∈ ( — 8, 2]

учитывая область определения: x∈(−8,−1/√5) ∪ (−1/√5,0) ∪ (0,1/√5) ∪ (1/√5,2]

Ответ: (−8,−1/√5) ∪ (−1/√5,0) ∪ (0,1/√5) ∪ (1/√5,2]