РЕШЕНИЕ:

Сумма квадратов чисел при каждом ходе умножается на 2
Если за n ходов из (а₀,b₀) получаем (a_n,b_n)
a_n² + b_n² = 2ⁿ ∙ (a₀² + b₀² )

1. из пары (100;1) пару, большее число в которой равно 400
a₀² + b₀² = 100² + 1² = 10001

a_n² + b_n² = 2ⁿ ∙ 10001

большее число равно 400
400² + b₂² = 2ⁿ ∙ 10001
2ⁿ ∙ 10001 ≥ 400²
2ⁿ ≥ 16000 / 10001 ≈ 16
2ⁿ ≥ 2⁴
n = 4

При n=4
400² + b₂² = 2⁴ ∙ 10001
160000 + b₂² = 160016
b₂² = 160016 - 160000
b₂² = 16
b=4

Пара (400;4)

б) Можно ли из (100; 1) получить пару (806; 788)?

806² + 788² = 2ⁿ ∙ (100² + 1² )

806² + 788² = 2ⁿ
100² + 1²

806² + 788² = 2ⁿ
10001

806² + 788² заканчивается на 0, при делении на 10001 результат дробный, который не является степенью 2
Следовательно, такого n не существует

в) Какое наименьшее a может быть в паре (a;b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806;788) ?

если n=0
806² + 788²= a² + b²
a=806

если n=1
(a;b) ⇒ (806;788)
a=(806+788)/2 = 797; b=(806-788)/2 = 9

если n=2
(a;b) ⇒ (797;9)
a=(797+9)/2 = 403; b=(797-9)/2 =394

если n=3
(a,b) ⇒ (403; 394)
a=(403+394)/2 = дробное

Ответ: а) да б)нет и) 403

РЕШЕНИЕ:

Инвариант: Сумма квадратов чисел при каждом ходе умножается на 2.
Если за n ходов из (a₀, b₀) получаем (aₙ, bₙ), то:
aₙ² + bₙ² = 2ⁿ ∙ (a₀² + b₀²).

а)
Исходная сумма квадратов: 50² + 1² = 2500 + 1 = 2501.
После n ходов: aₙ² + bₙ² = 2ⁿ ∙ 2501.
Пусть большее число равно 200. Тогда:
200² + b² = 2ⁿ ∙ 2501 ⇒ 40000 + b² = 2ⁿ ∙ 2501.
2ⁿ ≥ 40000 / 2501 ≈ 16 ⇒ n ≥ 4.
При n = 4: 2⁴ ∙ 2501 = 16 ∙ 2501 = 40016.
Тогда b² = 40016 - 40000 = 16 ⇒ b = 4.
Пара (200; 4) достижима.
Ответ: да.

б)
Исходная сумма квадратов: 2501.
Конечная сумма квадратов: 402² + 398².
402² = 161604, 398² = 158404, сумма = 161604 + 158404 = 320008.
Должно выполняться: 2ⁿ ∙ 2501 = 320008.
2ⁿ = 320008 / 2501 ≈ 128 ⇒ n = 7?
Но 2501 ∙ 128 = 320128 ≠ 320008.
Не существует целого n.
Ответ: нет.

в)
Пусть за n ходов из (a; b) получили (402; 398).
a² + b² = (402² + 398²) / 2ⁿ = 320008 / 2ⁿ.
320008 делится на 8: 320008 / 8 = 40001, но не на 16. Максимальное n = 3.
При n = 3: a² + b² = 320008 / 8 = 40001.
Обратные ходы:
Из (402; 398): (402+398)/2=400, (402-398)/2=2 ⇒ (400; 2).
Из (400; 2): (400+2)/2=201, (400-2)/2=199 ⇒ (201; 199).
Из (201; 199): (201+199)/2=200, (201-199)/2=1 ⇒ (200; 1).
Таким образом, исходная пара (200; 1), a = 200.
Ответ: 200.

Ответ: да; нет; 200

РЕШЕНИЕ:

Инвариант: aₙ² + bₙ² = 2ⁿ ∙ (80² + 1²) = 2ⁿ ∙ 6401.

а)
Пусть большее число 320: 320² + b² = 2ⁿ ∙ 6401.
102400 + b² = 2ⁿ ∙ 6401.
2ⁿ ≥ 102400 / 6401 ≈ 16 ⇒ n ≥ 4.
При n=4: 16∙6401=102416, b²=102416-102400=16 ⇒ b=4.
Пара (320; 4) достижима.
Ответ: да.

б)
644² + 636² = 414736 + 404496 = 819232.
2ⁿ ∙ 6401 = 819232 ⇒ 2ⁿ = 819232/6401 ≈ 128.
6401∙128=819328 ≠ 819232.
Ответ: нет.

в)
819232 / 2ⁿ должно быть целым. 819232 делится на 16 (819232/16=51202), но не на 32. Максимальное n=4.
При n=4: a²+b²=819232/16=51202.
Обратные ходы:
(644;636) → ((644+636)/2=640, (644-636)/2=4) → (640;4)
(640;4) → ((640+4)/2=322, (640-4)/2=318) → (322;318)
(322;318) → ((322+318)/2=320, (322-318)/2=2) → (320;2)
(320;2) → ((320+2)/2=161, (320-2)/2=159) → (161;159)
Исходная пара (161;159), a=161.
Ответ: 161.

Ответ: да; нет; 161

РЕШЕНИЕ:

Инвариант: aₙ² + bₙ² = 2ⁿ ∙ (120²+1²)=2ⁿ∙14401.

а)
480² + b² = 2ⁿ∙14401 ⇒ 230400 + b² = 2ⁿ∙14401.
2ⁿ ≥ 230400/14401≈16 ⇒ n≥4.
При n=4: 16∙14401=230416, b²=230416-230400=16 ⇒ b=4.
Пара (480;4) достижима.
Ответ: да.

б)
966²+954²=933156+910116=1843272.
2ⁿ∙14401=1843272 ⇒ 2ⁿ=1843272/14401≈128.
14401∙128=1843328 ≠ 1843272.
Ответ: нет.

в)
1843272 делится на 8 (1843272/8=230409), но не на 16. Максимальное n=3.
При n=3: a²+b²=1843272/8=230409.
Обратные ходы:
(966;954) → ((966+954)/2=960, (966-954)/2=6) → (960;6)
(960;6) → ((960+6)/2=483, (960-6)/2=477) → (483;477)
(483;477) → ((483+477)/2=480, (483-477)/2=3) → (480;3)
Исходная пара (480;3), a=480.
Ответ: 480.

Ответ: да; нет; 480