В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой AB проведена касательная, которая пересекает стороны BC и AC в точках D и E соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O1 и радиусом r. Прямые OO1 и AB пересекаются в точке P.
а) Докажите, что AP : PB = cos∠ACB.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если R = 5, r = 3.

В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой AB проведена касательная, которая пересекает стороны BC и AC в точках D и E соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O1 и радиусом r. Прямые OO1 и AB пересекаются в точке P.
а) Докажите, что AP:PB = cos∠ACB
б) Найдите площадь треугольника ABC, если R = 6, r = 4.

Прямая, перпендикулярная стороне AB ромба ABCD, пересекает его диагональ АС в точке K, а диагональ BD в точке L, причём AK:KС = 1:3, BL:LD = 2:1.
а) Докажите, что прямая KL делит сторону ромба AB в отношении 1:4.
б) Найдите сторону ромба, если KL = 6.

Прямая, перпендикулярная стороне ВС ромба ABCD, пересекает его диагональ АС в точке М, а диагональ BD в точке N, причём AM:МС = 1:2, BN:ND = 1:3.
а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба ВС в отношении 1:4.
б) Найдите сторону ромба, если MN = √12.