РЕШЕНИЕ:

1. Найдем область определения функции:
Функция определена при всех действительных x, так как нет ограничений на x в выражении (x+8)² и e³⁻ˣ.

2. Найдем производную функции:
Используем правило произведения: (u⋅v)′ = u′⋅v + u⋅v′, где u = (x+8)², v = e³⁻ˣ.

Сначала найдем производные:

u′ = 2(x+8)

v′ = e³⁻ˣ ⋅ (-1) = -e³⁻ˣ

Теперь найдем производную функции:
y′ = u′⋅v + u⋅v′ = 2(x+8)⋅e³⁻ˣ + (x+8)²⋅(-e³⁻ˣ) = e³⁻ˣ ⋅ [2(x+8) − (x+8)²]

Вынесем общий множитель (x+8):
y′ = e³⁻ˣ ⋅ (x+8) ⋅ [2 − (x+8)] = e³⁻ˣ ⋅ (x+8) ⋅ (-x − 6)

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
e³⁻ˣ ⋅ (x+8) ⋅ (-x − 6) = 0

Так как e³⁻ˣ > 0 для любого x, уравнение равносильно:
(x+8)(-x − 6) = 0

Отсюда:

x + 8 = 0 ⇒ x = -8

-x − 6 = 0 ⇒ x = -6

4. Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = e³⁻ˣ ⋅ (x+8) ⋅ (-x − 6)

Определим знак на интервалах, разделенных критическими точками x = -8 и x = -6:

x < -8 (например, x = -9):

x + 8 < 0

-x − 6 = 9 − 6 = 3 > 0

y′ = (+) ⋅ (−) ⋅ (+) = − (функция убывает)

-8 < x < -6 (например, x = -7):

x + 8 > 0

-x − 6 = 7 − 6 = 1 > 0

y′ = (+) ⋅ (+) ⋅ (+) = + (функция возрастает)

x > -6 (например, x = 0):

x + 8 > 0

-x − 6 = 0 − 6 = -6 < 0

y′ = (+) ⋅ (+) ⋅ (−) = − (функция убывает)

5. Определим точки экстремума:

При переходе через x = -8 производная меняет знак с − на + ⇒ x = - 8 — точка минимума.
При переходе через x = -6 производная меняет знак с + на − ⇒ x = - 6 — точка максимума

Ответ: - 6

РЕШЕНИЕ:

1. Найдем область определения функции:
Функция определена при всех действительных x, так как нет ограничений на x в выражении (7-x)² и e⁷⁻ˣ.

2. Найдем производную функции:
Используем правило произведения: (u⋅v)′ = u′⋅v + u⋅v′, где u = (7-x)², v = e⁷⁻ˣ.

Сначала найдем производные:
u′ = 2(7-x)⋅(-1) = -2(7-x)
v′ = e⁷⁻ˣ ⋅ (-1) = -e⁷⁻ˣ

Теперь найдем производную функции:
y′ = u′⋅v + u⋅v′ = -2(7-x)⋅e⁷⁻ˣ + (7-x)²⋅(-e⁷⁻ˣ) = -e⁷⁻ˣ ⋅ [2(7-x) + (7-x)²]

Вынесем общий множитель (7-x):
y′ = -e⁷⁻ˣ ⋅ (7-x) ⋅ [2 + (7-x)] = -e⁷⁻ˣ ⋅ (7-x) ⋅ (9 - x)

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
-e⁷⁻ˣ ⋅ (7-x) ⋅ (9 - x) = 0

Так как e⁷⁻ˣ > 0 для любого x, уравнение равносильно:
-(7-x)(9 - x) = 0

Отсюда:
7 - x = 0 ⇒ x = 7
9 - x = 0 ⇒ x = 9

4. Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = -e⁷⁻ˣ ⋅ (7-x) ⋅ (9 - x)

Определим знак на интервалах, разделенных критическими точками x = 7 и x = 9:

x < 7 (например, x = 0):
7 - x > 0
9 - x > 0
y′ = -(+) ⋅ (+) ⋅ (+) = − (функция убывает)

7 < x < 9 (например, x = 8):
7 - x < 0
9 - x > 0
y′ = -(+) ⋅ (−) ⋅ (+) = + (функция возрастает)

x > 9 (например, x = 10):
7 - x < 0
9 - x < 0
y′ = -(+) ⋅ (−) ⋅ (−) = − (функция убывает)

5. Определим точки экстремума:
При переходе через x = 7 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 7 — точка минимума.
При переходе через x = 9 производная меняет знак с + на − ⇒ x = 9 — точка максимума.

Ответ: 7

РЕШЕНИЕ:

1. Найдем область определения функции:
Функция определена при всех действительных x, так как нет ограничений на x в выражении (x+3) и e³⁻ˣ.

2. Найдем производную функции:
Используем правило произведения: (u⋅v)′ = u′⋅v + u⋅v′, где u = (x+3), v = e³⁻ˣ.

Сначала найдем производные:

u′ = 1

v′ = e³⁻ˣ ⋅ (-1) = -e³⁻ˣ

Теперь найдем производную функции:
y′ = u′⋅v + u⋅v′ = 1⋅e³⁻ˣ + (x+3)⋅(-e³⁻ˣ) = e³⁻ˣ ⋅ [1 - (x+3)] = e³⁻ˣ ⋅ (-x - 2)

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
e³⁻ˣ ⋅ (-x - 2) = 0

Так как e³⁻ˣ > 0 для любого x, уравнение равносильно:
-x - 2 = 0
x = -2

4. Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = e³⁻ˣ ⋅ (-x - 2)

Определим знак на интервалах, разделенных критической точкой x = -2:

x < -2 (например, x = -3):

-x - 2 = 3 - 2 = 1 > 0

y′ = (+) ⋅ (+) = + (функция возрастает)

x > -2 (например, x = 0):

-x - 2 = 0 - 2 = -2 < 0

y′ = (+) ⋅ (−) = − (функция убывает)

5. Определим точку экстремума:
При переходе через x = -2 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -2 — точка максимума.

Ответ: — 2

РЕШЕНИЕ:

1. Найдем область определения функции:
Функция определена при всех действительных x, так как нет ограничений на x в выражении (x+5) и eˣ⁻⁵.

2. Найдем производную функции:
Используем правило произведения: (u⋅v)′ = u′⋅v + u⋅v′, где u = (x+5), v = eˣ⁻⁵.

Сначала найдем производные:

u′ = 1

v′ = eˣ⁻⁵ ⋅ 1 = eˣ⁻⁵

Теперь найдем производную функции:
y′ = u′⋅v + u⋅v′ = 1⋅eˣ⁻⁵ + (x+5)⋅eˣ⁻⁵ = eˣ⁻⁵ ⋅ [1 + (x+5)] = eˣ⁻⁵ ⋅ (x + 6)

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
eˣ⁻⁵ ⋅ (x + 6) = 0

Так как eˣ⁻⁵ > 0 для любого x, уравнение равносильно:
x + 6 = 0
x = -6

4. Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = eˣ⁻⁵ ⋅ (x + 6)

Определим знак на интервалах, разделенных критической точкой x = -6:

x < -6 (например, x = -7):

x + 6 = -7 + 6 = -1 < 0

y′ = (+) ⋅ (−) = − (функция убывает)

x > -6 (например, x = 0):

x + 6 = 0 + 6 = 6 > 0

y′ = (+) ⋅ (+) = + (функция возрастает)

5. Определим точку экстремума:
При переходе через x = -6 производная меняет знак с − на + ⇒ x = -6 — точка минимума.

Ответ: -6