РЕШЕНИЕ:

1. Найдем область определения функции:
Функция определена при всех действительных x, так как нет ограничений на x в выражении (8x²-40x+40) и eˣ⁺⁴.

2. Найдем производную функции:
Используем правило произведения: (u⋅v)′ = u′⋅v + u⋅v′, где u = 8x²-40x+40, v = eˣ⁺⁴.

Сначала найдем производные:

u′ = 16x - 40

v′ = eˣ⁺⁴ ⋅ 1 = eˣ⁺⁴

Теперь найдем производную функции:
y′ = u′⋅v + u⋅v′ = (16x - 40)⋅eˣ⁺⁴ + (8x²-40x+40)⋅eˣ⁺⁴ = eˣ⁺⁴ ⋅ [(16x - 40) + (8x²-40x+40)] = eˣ⁺⁴ ⋅ (8x² - 24x)

Вынесем общий множитель:
y′ = eˣ⁺⁴ ⋅ 8x ⋅ (x - 3)

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
eˣ⁺⁴ ⋅ 8x ⋅ (x - 3) = 0

Так как eˣ⁺⁴ > 0 для любого x, уравнение равносильно:
8x(x - 3) = 0

Отсюда:

x = 0

x = 3

4. Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = eˣ⁺⁴ ⋅ 8x ⋅ (x - 3)

Определим знак на интервалах, разделенных критическими точками x = 0 и x = 3:

x < 0 (например, x = -1):

x < 0 ⇒ 8x < 0

x - 3 < 0

y′ = (+) ⋅ (−) ⋅ (−) = + (функция возрастает)

0 < x < 3 (например, x = 1):

x > 0 ⇒ 8x > 0

x - 3 < 0

y′ = (+) ⋅ (+) ⋅ (−) = − (функция убывает)

x > 3 (например, x = 4):

x > 0 ⇒ 8x > 0

x - 3 > 0

y′ = (+) ⋅ (+) ⋅ (+) = + (функция возрастает)

5. Определим точки экстремума:

При переходе через x = 0 производная меняет знак с + на − ⇒ x = 0 — точка максимума.

При переходе через x = 3 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 3 — точка минимума.

Ответ: 3

РЕШЕНИЕ:

1. Найдем область определения функции:
Функция определена при всех действительных x, так как нет ограничений на x в выражении (4-x) и eˣ⁺⁴.

2. Найдем производную функции:
Используем правило произведения: (u⋅v)′ = u′⋅v + u⋅v′, где u = (4-x), v = eˣ⁺⁴.

Сначала найдем производные:

u′ = -1

v′ = eˣ⁺⁴ ⋅ 1 = eˣ⁺⁴

Теперь найдем производную функции:
y′ = u′⋅v + u⋅v′ = (-1)⋅eˣ⁺⁴ + (4-x)⋅eˣ⁺⁴ = eˣ⁺⁴ ⋅ [-1 + (4-x)] = eˣ⁺⁴ ⋅ (3 - x)

3. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
eˣ⁺⁴ ⋅ (3 - x) = 0

Так как eˣ⁺⁴ > 0 для любого x, уравнение равносильно:
3 - x = 0
x = 3

4. Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = eˣ⁺⁴ ⋅ (3 - x)

Определим знак на интервалах, разделенных критической точкой x = 3:

x < 3 (например, x = 0):

3 - x = 3 - 0 = 3 > 0

y′ = (+) ⋅ (+) = + (функция возрастает)

x > 3 (например, x = 4):

3 - x = 3 - 4 = -1 < 0

y′ = (+) ⋅ (−) = − (функция убывает)

5. Определим точку экстремума:
При переходе через x = 3 производная меняет знак с + на − ⇒ x = 3 — точка максимума.

Ответ: 3