РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция представляет собой многочлен третьей степени, поэтому она определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = x³ - 18x² + 81x + 17
y′ = 3x² - 36x + 81

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x² - 36x + 81 = 0
Разделим все коэффициенты на 3:
x² - 12x + 27 = 0
D = (-12)² - 4×1×27 = 144 - 108 = 36
x = (12 ± √36) / 2 = (12 ± 6) / 2
x₁ = (12 + 6)/2 = 18/2 = 9
x₂ = (12 - 6)/2 = 6/2 = 3

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = 3x² - 36x + 81 = 3(x² - 12x + 27) = 3(x - 3)(x - 9)

Определим знаки на интервалах:

При x < 3: (x - 3) < 0 и (x - 9) < 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При 3 < x < 9: (x - 3) > 0 и (x - 9) < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x > 9: (x - 3) > 0 и (x - 9) > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = 3 производная меняет знак с + на − ⇒ x = 3 — точка максимума.
При переходе через x = 9 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 9 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка минимума.

Ответ: 9

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция содержит выражение √x, поэтому:
x ≥ 0
Таким образом, область определения: x ∈ [0; +∞)

Упростим функцию:
y = x√x - 3x + 17 = x^3/2 - 3x + 17

Найдем производную функции:
y′ = (3/2)x ^1/2 - 3 = (3√x)/2 - 3

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(3√x)/2 - 3 = 0
(3√x)/2 = 3
3√x = 6
√x = 2
x = 4

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (3√x)/2 - 3 = (3/2)(√x - 2)

Определим знаки на интервалах:

При 0 ≤ x < 4: √x < 2 ⇒ √x - 2 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x > 4: √x > 2 ⇒ √x - 2 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точку экстремума:
При переходе через x = 4 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 4 — точка минимума.

Ответ: 4

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция содержит выражение √x, поэтому:
x ≥ 0
Таким образом, область определения: x ∈ [0; +∞)

Упростим функцию:
y = 4 + 9x - x√x = 4 + 9x - x^{3/2}

Найдем производную функции:
y′ = 9 - (3/2)x^{1/2} = 9 - (3√x)/2

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
9 - (3√x)/2 = 0
(3√x)/2 = 9
3√x = 18
√x = 6
x = 36

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = 9 - (3√x)/2 = (3/2)(6 - √x)

Определим знаки на интервалах:

При 0 ≤ x < 36: √x < 6 ⇒ 6 - √x > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При x > 36: √x > 6 ⇒ 6 - √x < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

Определим точку экстремума:
При переходе через x = 36 производная меняет знак с + на − ⇒ x = 36 — точка максимума.

Ответ: 36

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция содержит выражение √x, поэтому:
x ≥ 0
Отрезок [1; 50] полностью входит в область определения.

Упростим функцию:
y = x√x - 9x + 25 = x^{3/2} - 9x + 25

Найдем производную функции:
y′ = (3/2)x^{1/2} - 9 = (3√x)/2 - 9

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
(3√x)/2 - 9 = 0
(3√x)/2 = 9
3√x = 18
√x = 6
x = 36

Точка x = 36 принадлежит отрезку [1; 50]

Вычислим значения функции:

В критической точке:
y(36) = 36√36 - 9×36 + 25 = 36×6 - 324 + 25 = 216 - 324 + 25 = -83

На левом конце отрезка:
y(1) = 1√1 - 9×1 + 25 = 1 - 9 + 25 = 17

На правом конце отрезка:
y(50) = 50√50 - 9×50 + 25 = 50×5√2 - 450 + 25 = 250√2 - 425 ≈ 353,55 - 425 = -71,45

Сравним полученные значения:
y(36) = -83 (наименьшее)
y(50) ≈ -71,45
y(1) = 17 (наибольшее)

Ответ: -83