РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция содержит выражение √x, поэтому: x ≥ 0
Отрезок [0; 12] полностью входит в область определения.

Упростим функцию:
y = 7 + 12x - 4x√x = 7 + 12x - 4x^(3/2)

Найдем производную функции:
y′ = 12 - 4*(3/2)x^(1/2) = 12 - 6√x

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
12 - 6√x = 0
6√x = 12
√x = 2
x = 4

Точка x = 4 принадлежит отрезку [0; 12]

Вычислим значения функции:

В критической точке:
y(4) = 7 + 12*4 - 4*4*2 = 7 + 48 - 32 = 23

На левом конце отрезка:
y(0) = 7 + 12*0 - 4*0*0 = 7

На правом конце отрезка:
y(12) = 7 + 12*12 - 4*12*√12 = 7 + 144 - 48*2√3 = 151 - 96√3 ≈ 151 - 166,28 = -15,28

Сравним полученные значения:
y(4) = 23 (наибольшее)
y(0) = 7
y(12) ≈ -15,28 (наименьшее)

Ответ: 23

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция содержит выражение x^(3/2) = (√x)³, поэтому: x ≥ 0
Таким образом, область определения: x ∈ [0; +∞)

Запишем функцию в удобном виде:
y = x^(3/2) - 18x + 29

Найдем производную функции:
y′ = (3/2)x^(1/2) - 18 = (3√x)/2 - 18

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(3√x)/2 - 18 = 0
(3√x)/2 = 18
3√x = 36
√x = 12
x = 144

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (3/2)(√x - 12)

Определим знаки на интервалах:

При 0 ≤ x < 144: √x < 12 ⇒ √x - 12 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x > 144: √x > 12 ⇒ √x - 12 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точку экстремума:
При переходе через x = 144 производная меняет знак с - на + ⇒ x = 144 — точка минимума.

Ответ: 144

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция представляет собой многочлен третьей степени, поэтому она определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = x³ - 300x + 5
y′ = 3x² - 300

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x² - 300 = 0
3x² = 300
x² = 100
x = ±10

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = 3x² - 300 = 3(x² - 100) = 3(x - 10)(x + 10)

Определим знаки на интервалах:

При x < -10: (x - 10) < 0 и (x + 10) < 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При -10 < x < 10: (x - 10) < 0 и (x + 10) > 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x > 10: (x - 10) > 0 и (x + 10) > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -10 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -10 — точка максимума.
При переходе через x = 10 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 10 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка максимума.

Ответ: -10

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция содержит выражение x ^3/2 = (√x)³, поэтому: x ≥ 0
Таким образом, область определения: x ∈ [0; +∞)

Запишем функцию в удобном виде:
y = 17 + 27x - 2x ^3/2

Найдем производную функции:
y′ = 27 - 2*(3/2)x ^1/2 = 27 - 3√x

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
27 - 3√x = 0
3√x = 27
√x = 9
x = 81

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = 3(9 - √x)

Определим знаки на интервалах:

При 0 ≤ x < 81: √x < 9 ⇒ 9 - √x > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При x > 81: √x > 9 ⇒ 9 - √x < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

Определим точку экстремума:
При переходе через x = 81 производная меняет знак с + на − ⇒ x = 81 — точка максимума.

Ответ: 81