РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция представляет собой многочлен третьей степени, поэтому она определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = x³ - 27x + 14
y′ = 3x² - 27

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x² - 27 = 0
3x² = 27
x² = 9
x = ±3

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = 3x² - 27 = 3(x² - 9) = 3(x - 3)(x + 3)

Определим знаки на интервалах:

При x < -3: (x - 3) < 0 и (x + 3) < 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При -3 < x < 3: (x - 3) < 0 и (x + 3) > 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x > 3: (x - 3) > 0 и (x + 3) > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -3 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -3 — точка максимума.
При переходе через x = 3 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 3 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка максимума.

Ответ: -3

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция представляет собой многочлен третьей степени, поэтому она определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = x³ - 300x + 14
y′ = 3x² - 300

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x² - 300 = 0
3x² = 300
x² = 100
x = ±10

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = 3x² - 300 = 3(x² - 100) = 3(x - 10)(x + 10)

Определим знаки на интервалах:

При x < -10: (x - 10) < 0 и (x + 10) < 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При -10 < x < 10: (x - 10) < 0 и (x + 10) > 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x > 10: (x - 10) > 0 и (x + 10) > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -10 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -10 — точка максимума.
При переходе через x = 10 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 10 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка минимума.

Ответ: 10

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция представляет собой многочлен третьей степени, поэтому она определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = x³ + 16x² + 64x + 12
y′ = 3x² + 32x + 64

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x² + 32x + 64 = 0
D = 32² - 4×3×64 = 1024 - 768 = 256
x = (-32 ± √256) / (2×3) = (-32 ± 16) / 6
x₁ = (-32 + 16)/6 = -16/6 = -8/3 ≈ -2,67
x₂ = (-32 - 16)/6 = -48/6 = -8

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = 3x² + 32x + 64 = 3(x + 8)(x + 8/3)

Определим знаки на интервалах:

При x < -8: (x + 8) < 0 и (x + 8/3) < 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При -8 < x < -8/3: (x + 8) > 0 и (x + 8/3) < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x > -8/3: (x + 8) > 0 и (x + 8/3) > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -8 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -8 — точка максимума.
При переходе через x = -8/3 производная меняет знак с − на + ⇒ x = -8/3 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка максимума.

Ответ: -8

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция содержит выражение x^(3/2) = (√x)³, поэтому: x ≥ 0
Таким образом, область определения: x ∈ [0; +∞)

Запишем функцию в удобном виде:
y = x ^3/2 - 3x + 9

Найдем производную функции:
y′ = (3/2)x ^1/2 - 3 = (3√x)/2 - 3

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
(3√x)/2 - 3 = 0
(3√x)/2 = 3
3√x = 6
√x = 2
x = 4

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = (3/2)(√x - 2)

Определим знаки на интервалах:

При 0 ≤ x < 4: √x < 2 ⇒ √x - 2 < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x > 4: √x > 2 ⇒ √x - 2 > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точку экстремума:
При переходе через x = 4 производная меняет знак с - на + ⇒ x = 4 — точка минимума.

Ответ: 4