РЕШЕНИЕ:

Область определения:x-y+3 ≥ 0

1. х²-5х-y+3 = 0
у = х²-5х+3 График парабола

2. √(x-y+3) = 0
x-y+3 = 0
у = х + 3 График прямая.

Построим эти графики

3. y = 3x+a множество прямых параллельных прямой y = 3x (на рисунке отмечена красным цветом)



Cистема уравнений имеет ровно два различных решения в точках пересечения графиков А, В и в точке касания С.

Случай 1. Точки пересечения графиков у = х²-5х+3 График парабола и у = х + 3 График прямая.

х²-5х+3 = х + 3
х²-5х+3-х - 3 = 0
х²-6х = 0
х(х-6) = 0
х = 0 ⇒ у = 0+3 = 3
х = 6 ⇒ у = 6+3 = 9

А(0;3) и В(6;9)

y = 3x+a
А(0;3) ⇒ 3 = 3 ∙ 0 + а ⇒ а = 3
В(6;9) ⇒ 9 = 3 ∙ 6 + а ⇒ а = -9

Случай 2. Касательная y = 3x+a к графику функции у = х²-5х+3
k = 3 = y′

y′ = (х²-5х+3)′ =2x - 5
2x - 5 = 3
2x = 8
x = 4 ⇒ y = х²-5х+3 = 4²-5 ∙4 +3 = 16 - 20 + 3 = -1
C(4;-1)

y = 3x+a
C(4;-1) ⇒ -1 = 3 ∙ 4 + а ⇒ а =-13

=============
Проверка
Для каждого найденного a:

a = 3: решения (0, 3) и (8, 27)

a = -9: решения (2, -3) и (6, 9)

a = -13: решения (4, -1) и (8, 11)

Во всех случаях ровно два решения.

Ответ: 3: -9: -13

РЕШЕНИЕ:

(х²-3ху-3y+9)∙√(3-x) = 0
y = аx

(ху(у-3)-3(у-3))∙√(3-x) = 0
y = аx

(ху-3)(у-3)∙√(3-x) = 0
y = аx

Область определения:3-x ≥ 0

ху-3 =0
у-3 =0
√(3-x) =0

у = 3/х
у=3
3-х=0

у = 3/х — гипербола
у=3 — прямая
х=3 — прямая
Построим эти графики

3. y = аx множество прямых параллельных прямой y = x (на рисунке отмечена красным цветом)



Cистема уравнений имеет ровно два различных решения в точках пересечения графиков А, В и С.

Случай 1. Точки пересечения графиков у = 3/х и у=3

3/х =3
х = 1 ⇒ у = 3

С(1;3) ∈ Области определения:3-x ≥ 0

Случай 2.Точки пересечения графиков у = 3/х и х=3

y = 3/3 = 1
В(3;1) ∈ Области определения:3-x ≥ 0

Случай 2.Точки пересечения графиков у=3 и х=3

А(3;3) ∈ Области определения:3-x ≥ 0

y = аx
А(3;3) ⇒ 3 = 3а ⇒ а=1
В(3;1) ⇒ 1 = 3а ⇒ а=1/3
С(1;3) ⇒ 3 = 1а ⇒ а=3

Ответ: 1: 1/3: 3

РЕШЕНИЕ:


Построим графики функций

(x−4)2+(y−4)2=9 График - окружность с центром (4;4) R=3 (на графике выделена синим цветом)

y=|x−a|+1 При различных значениях а график передвигается по прямой у=1



Три решения будет в трех случаях.

1 случай: вершина графика y=|x−a|+1 совпадает с точкой Н(4;1)

1=(4−a)+1

4-а=0

а=4

2 случай: График функции y=|x−a|+1 касается левой веткой окружности в точке А

∆ АОМ (∠M=90°, треугольник равнобедренный) по т.Пифагора х²+х²=3²

2х² = 9

х² = 9/2

х=3/√2

A(4-x;4-x) ; B(4+x; 4-x)

A(4 - 3/√2;4 - 3/√2) и В(4+3/√2;4 -3/√2)

y=|x−a|+1 проходит через точку А

4 - 3 = (а - 4 + 3) + 1
__√2 _ _ _ _ _√2

а = -3 - 3 - 1 + 4 + 4
__ √2 _√2

а = -2 ∙ 3 + 7
___ √2

а = 7 - 3√2

3 случай: График функции y=|x−a|+1 касается правой веткой окружности в точке В

В(4+3/√2;4 - 3/√2)

y=|x−a|+1 проходит через точку В

4 - 3 = (4 + 3-а) + 1
__√2 ____√2

а = 3 + 3 - 1
__ √2 _√2

а = 2 ∙ 3 - 1
___ √2

а = 3√2 - 1

Ответ: 4; 7 - 3√2 ; 3√2 - 1

РЕШЕНИЕ:


Построим графики функций

y=√(5+4x-x²) + 2 = √(9 - (x²-4x+4)) + 2 = √(3² - (x-2)²) + 2 График - часть окружности √(3² - (x-2)²), расположенной выше оси Ох и смещенной вверх на 2 еденицы. Центр окружности (2;2) R=3 (на графике выделен синим цветом)

y=√(9-а²+2ах-x²) + а = √(9 - (x²-2аx+а²)) + а = √(3² - (x-а)²) + а График - часть окружности √(3² - (x-а)²) смещенной вверх на a едениц. Центр окружности (a;a) R=3 (на графике выделены зеленым цветом цветом)



Единственное решение в точка А(-1;2) и В(2;6)

График y=√(3² - (x-а)²) + а проходит через точку А(-1;2) при а=-1

График y=√(3² - (x-а)²) + а проходит через точку В(2;6) при а=5

Если а=2 графики y=√(5+4x-x²) + 2 и y=√(9-а²+2ах-x²) + а совпадают, решений будет больше 2

а∈[-1;2) ∪ (2;5)

Ответ: [-1;2) ∪ (2;5)