РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция представляет собой многочлен третьей степени, поэтому она определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = x³ + 27x² + 11
y′ = 3x² + 54x

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x² + 54x = 0
3x(x + 18) = 0
x = 0 или x = -18

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = 3x(x + 18)

Определим знаки на интервалах:

При x < -18: x < 0 и (x + 18) < 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При -18 < x < 0: x < 0 и (x + 18) > 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x > 0: x > 0 и (x + 18) > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -18 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -18 — точка максимума.
При переходе через x = 0 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 0 — точка минимума.

Ответ: -18

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция представляет собой многочлен третьей степени, поэтому она определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = x³ - 14x² + 49x + 3
y′ = 3x² - 28x + 49

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x² - 28x + 49 = 0
D = (-28)² - 4×3×49 = 784 - 588 = 196
x = (28 ± √196) / (2×3) = (28 ± 14) / 6
x₁ = (28 + 14)/6 = 42/6 = 7
x₂ = (28 - 14)/6 = 14/6 = 7/3 ≈ 2,333...

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = 3x² - 28x + 49 = 3(x - 7)(x - 7/3)

Определим знаки на интервалах:

При x < 7/3: (x - 7) < 0 и (x - 7/3) < 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При 7/3 < x < 7: (x - 7) < 0 и (x - 7/3) > 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x > 7: (x - 7) > 0 и (x - 7/3) > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = 7/3 производная меняет знак с + на − ⇒ x = 7/3 — точка максимума.
При переходе через x = 7 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 7 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка минимума.

Ответ: 7

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция представляет собой многочлен третьей степени, поэтому она определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = x³ - 108x + 23
y′ = 3x² - 108

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x² - 108 = 0
3x² = 108
x² = 36
x = ±6

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = 3x² - 108 = 3(x² - 36) = 3(x - 6)(x + 6)

Определим знаки на интервалах:

При x < -6: (x - 6) < 0 и (x + 6) < 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При -6 < x < 6: (x - 6) < 0 и (x + 6) > 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x > 6: (x - 6) > 0 и (x + 6) > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -6 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -6 — точка максимума.
При переходе через x = 6 производная меняет знак с − на + ⇒ x = 6 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка максимума.

Ответ: -6

РЕШЕНИЕ:

Найдем область определения функции:
Функция представляет собой многочлен третьей степени, поэтому она определена при всех действительных x.

Найдем производную функции:
y = x³ + 14x² + 49x + 8
y′ = 3x² + 28x + 49

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x² + 28x + 49 = 0
D = 28² - 4×3×49 = 784 - 588 = 196
x = (-28 ± √196) / (2×3) = (-28 ± 14) / 6
x₁ = (-28 + 14)/6 = -14/6 = -7/3 ≈ -2,333...
x₂ = (-28 - 14)/6 = -42/6 = -7

Проанализируем знак производной:
Производная: y′ = 3x² + 28x + 49 = 3(x + 7)(x + 7/3)

Определим знаки на интервалах:

При x < -7: (x + 7) < 0 и (x + 7/3) < 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

При -7 < x < -7/3: (x + 7) > 0 и (x + 7/3) < 0 ⇒ y′ < 0 (функция убывает)

При x > -7/3: (x + 7) > 0 и (x + 7/3) > 0 ⇒ y′ > 0 (функция возрастает)

Определим точки экстремума:
При переходе через x = -7 производная меняет знак с + на − ⇒ x = -7 — точка максимума.
При переходе через x = -7/3 производная меняет знак с − на + ⇒ x = -7/3 — точка минимума.

В задаче спрашивается точка максимума.

Ответ: -7